اعدادی که بزرگ‌تر از تصور انسان هستند

بزرگ‌ترین عددی که می‌توانید به آن فکر کنید چند است؟ این پرسشی است که شاید بسیاری از افراد در دوران کودکی از خود پرسیده باشند. شاید کودکی عدد یک میلیارد میلیارد میلیارد را به زبان آورد و کودکی دیگر درباره‌ی تریلیون‌ها، اسکویلیون‌ها یا کاجیلیون‌ها بداند.

در نهایت کودکی به یاد می‌آورد که پاسخ برنده را می‌داند: «بی‌نهایت»؛ اما این خودپسندی عمر کوتاهی دارد. کودکی دیگر خیلی زود با پاسخ «بی‌نهایت به علاوه یک» او را شکست می‌دهد. تلاش برای تصور و درک اعداد بسیار بزرگ فراتر از یک بازی کودکانه است. بلکه مسئله‌ای است که قرن‌ها ذهن ریاضی‌دان‌ها را به خود مشغول کرده است. آن‌ها به اعداد بزرگی اشاره کردند که هیچ انسانی تاکنون حتی نتوانسته آن‌ها را در ذهن خود تصور کند. به نظر می‌رسد بیش از یک بی‌نهایت وجود دارد و برخی بی‌نهایت‌ها بزرگ‌تر از دیگری هستند.

بگذارید کار را با نقطه‌ی واضحی شروع کنیم. هیچ عددی خاصی را نمی‌توان به‌عنوان بزرگ‌ترین عدد در نظر گرفت زیرا اعداد طبیعی بی‌نهایت هستند؛ بنابراین نمی‌توان در بازی کودکانه‌ی حدس بزرگ‌ترین عدد پیروز شد.

با این‌حال تمام این موارد به این معنی نیست که تمام اعداد بزرگ، تصور شده، بیان شده نوشته شده یا حتی توسط کامپیوترها نشان داده شده‌اند. در ابتدا بگذارید به‌صورت مستقیم از نردبان اعداد بالا برویم و به اعدادی فراتر از زندگی روزمره برسیم. برای مثال در تیترهای خبری بزرگ‌ترین اعداد قرض‌های ملی معمولا به تریلیون بیان می‌شوند؛ اما باز هم اعدادی با سلسله مراتب بالاتر وجود دارند که به‌ندرت به اسم آن‌ها اشاره می‌شود. این اعداد از کوادریلیون، کوینتیلیون، سکستیلیون شروع می‌شوند و به‌این‌ترتیب ادامه می‌یابند. یک کوادریلیون (نسخه‌ی ایالات متحده) دارای ۱۵ صفر، یک کوینتیلیون دارای ۱۸ صفر و یک سکستیلیون دارای ۲۱ صفر است.

اعداد یادشده بزرگ هستند. بدن انسان تقریبا دارای ۳۰ تریلیون سلول است؛ بنابراین برای رسیدن به یک کوادریلیون سلول در اتاق نیاز به ۳۴ نفر دارید. یک کوینتیلیون را می‌توان با تعداد حشرات روی زمین تصور کرد که به ۱۰ کوینتلیون می‌رسد؛ اما عدد سکستیلیون به‌قدری بزرگ است که یک برج سکستیلیون نفری می‌تواند ۱۸۰ هزار سال نوری ارتفاع داشته باشد که از قطر کهکشان راه شیری هم بزرگ‌تر است.

حتی می‌توانید تا یک سنتیلیون هم ادامه دهید که بر اساس نسخه‌ی آمریکایی دارای ۳۰۳ صفر است. فراتر از این عدد اعداد دوئوسنتیلیون، تریسنتیلیون قرار می‌گیرند اما دارای استاندارد دقیقی نیستند. معمولا، تنها فیزیک‌دان‌ها و ریاضی‌دان‌ها از سنتلیون استفاده می‌کنند و حتی در این زمینه‌ها تنها متخصصین حوزه‌هایی مثل نظریه‌ی ریسمان این اعداد را به کار می‌برند. اگر ایلان ماسک می‌خواست یک سنتیلیونر شود، باید درآمد فعلی خود در هر میلی ثانیه را به مدت ۱٫۷ ضرب در ۱۰ به توان ۲۸۲ سال حفظ می‌کرد که عددی با ۲۸۳ رقم است.

گوگول عدد بزرگ دیگری است که به بزرگی یک سنتیلیون آمریکایی نیست اما شهرت بیشتری دارد. این عدد با صد صفر برابر است با ده به توان ۱۰۰ و البته الهام‌بخش نام‌گذاری موتور جستجوی شناخته‌شده، گوگل است. دلیل انتخاب این عدد توسط بنیان‌گذاران گوگل، فراهم کردن دریای وسیعی از اطلاعات آنلاین برای مخاطب بود. با این حال، تاکنون اینترنت به اندازه‌ی این عدد گسترش نیافته است: بر اساس آمار Wayback Machine، آرشیو اینترنت از دهه‌ی ۱۹۹۰ تاکنون فقط به ۸۰۱ میلیارد صفحه‌ی وب شاخص‌گذاری‌شده می‌رسد.

گوگول پلکس عدد نسخه‌ی بسیار بزرگ‌تری از گوگول (نام دفتر گوگل در کالیفرنیا)، برابر است با ده به توان یک گوگول یا ده به توان ده به توان صد. گوگول پلکس در واقع عددی با تعداد یک گوگول صفر است؛ اما نوشتن چنین عددی به چه مقدار زمان نیاز دارد؟ باید بگوییم حتی اگر از کودکی مداد را در دست گرفته باشید و نوشتن این عدد را شروع کرده باشید باز هم نمی‌توانید نوشتن آن را در طول عمر خود به پایان برسانید. برای اینکه به درک درستی از تعداد رقم‌های این عدد برسید، هامکینز این آزمایش را پیشنهاد می‌کند:

فرض کنید دستگاه چاپی با این مشخصات را در اختیار دارید. یک چاپگر فوق سریع که در هر ثانیه یک میلیون رقم را چاپ می‌کند. حالا فرض کنید این چاپگر از ابتدای جهان یعنی از حدود ۱۳٫۸ میلیارد سال پیش کار خود را شروع کرده باشد. چنین چاپگری حتی اگر از زمان بیگ‌بنگ، یک میلیون رقم در ثانیه را چاپ کرده باشد تاکنون فقط توانسته کسر کوچکی از عدد گوگل پلکس را چاپ کند.

هامکینز همچنین به نکته‌ی جذابی اشاره می‌کند. تعدادی عدد بزرگ کوچک‌تر از گوگل پلکس وجود دارند که نمی‌توان آن‌ها را با مفهوم یا کلمه‌ای ساده‌تر توصیف کرد و در واقع فراتر از درک ما هستند. این اعداد هرگز تصور یا توصیف نشده‌اند.

هامکینز معتقد است تنها راه برای توصیف این اعداد بیان رقم‌های آن‌ها است؛ اما حتی اگر از ابتدای جهان در هر ثانیه یک میلیون رقم را چاپ کنید نمی‌توانید تمام این ارقام را به زبان بیاورید. موقعیت جالبی است زیرا نشان می‌دهد تعریف ساده‌ای از اعداد بزرگ داریم اما توصیف تعداد زیادی عدد میانی کار دشواری است. اعداد نقطه‌ی عطف هم وجود دارند که توصیف آن‌ها ساده‌تر است اما اقیانوسی از پیچیدگی میان آن‌ها قرار دارد.

با این‌حال ریاضی‌دان‌ها حتی اعدادی بزرگ‌تر از گوگل پلکس را تعریف کردند که یکی از مشهورترین آن‌ها «عدد گراهام» است. رونالد گراهام از این عدد در دهه‌ی ۱۹۷۰ به عنوان بخشی از یک اثبات ریاضی استفاده کرد. او این عدد را برای حل مسئله‌ای در شاخه‌ای از ریاضیات به نام نظریه‌ی رمزی ارائه کرد که با چگونگی یافتن ترتیب در بی‌نظمی سروکار دارد. عدد طبیعی گراهام حدود ده هزار صفر دارد. درک ریاضیات این عدد کمی پیچیده است. گراهام در کانال یوتیوب Numberphile دلیل این پیچیدگی را شرح می‌دهد. همچنین باید بدانید اگر حتی برای نوشتن چنین رقمی روی کاغذ تلاش کرده باشید، فضای کافی در جهان مرئی وجود ندارد که بتوان چنین رقمی را در آن جا داد.

اما درباره‌ی بی‌نهایت چطور؟ برای یک شخص متوسط، بی‌نهایت مفهوم واضحی به نظر می‌رسد. در واقع از این دیدگاه، بی‌نهایت یک عدد نیست بلکه چیزی است که تا ابد ادامه دارد؛ اما اینکه ذهن انسان بتواند آن را درک کند، خود سؤال دیگری است.

ادموند برک نویسنده و فیلسوف، در سده‌ی ۱۷۰۰ میلادی می‌نویسد «بی‌نهایت» دارای میل به پر کردن مغز با نوعی ترس دلپذیر است که خالص‌ترین اثر و حقیقی‌ترین آزمایش والایی است. برای برک، مفهوم بی‌نهایت ترکیبی از ترس و حیرت، لذت و درد به‌صورت همزمان بود؛ و به‌جز عالم خیال، به‌ندرت می‌توان با چنینی حسی در عالم واقعیت روبه‌رو شد.

با این‌حال، یک قرن بعد گئورگ کانتور منطق‌دان مفهوم بی‌نهایت را به چیزی گیج‌کننده تبدیل کرد. او نشان داد برخی بی‌نهایت‌ها بزرگ‌تر از برخی دیگر هستند؛ اما چگونه؟ برای درک چرایی، اعداد را به شکل مجموعه‌ها در نظر بگیرید. اگر بخواهید کل اعداد طبیعی (۱، ۲، ۳، ۴ و ...) را در یک مجموعه مقایسه کنید و تمام اعداد زوج در مجموعه‌ی دیگری قرار بگیرند، آنگاه هر عدد طبیعی می‌تواند با یک عدد زوج نظیر جفت شود. این زوجیت نشان می‌دهد دو مجموعه که هر دو بی‌نهایت هستند، اندازه‌ی یکسانی دارند یا اصطلاحا «بی‌نهایت قابل شمارش» هستند.

با این‌حال، کانتور نشان می‌دهد که نمی‌توان این کار را برای اعداد طبیعی و اعداد حقیقی انجام داد؛ زیرا اعداد حقیقی دارای بی‌نهایت عدد میانی اعشاری هستند (برای مثال ۰/۱۲۳، ۰/۱۲۳۴، ۰/۱۲۳۴۵ و به همین ترتیب ادامه می‌یابند).

اگر بخواهید اعداد را با هر مجموعه جفت کنید همیشه عددی حقیقی پیدا می‌کنید که با یک عدد طبیعی جفت نشده است. اعداد حقیقی «بی‌نهایت غیرقابل شمارش» هستند؛ بنابراین بی‌نهایت‌ها با یکدیگر متفاوت‌اند. به‌طورکلی پذیرش مفاهیم فوق دشوار است. فقط تصور کنید چه اتفاقی برای ذهن رخ می‌دهد وقتی بخواهد چنین اعداد بزرگی را تصور کند.