جادوی علم ریاضی در ساخت Sphere لاس‌وگاس؛ بزرگ‌ترین سازه‌ کروی جهان

این روزها در افق لاس‌وگاس، سفینه‌ی فضایی عظیم، سیاه و اسرارآمیزی به چشم می‌خورد که با فرا رسیدن شب، مانند کره‌ زمینی که از فضا به آن نگاه می‌کنیم، شروع به درخشیدن می‌کند.

این سازه‌ی کروی غول‌پیکر که احتمالاً ویدیوهای شگفت‌انگیزش را در اینترنت دیده باشید، Sphere (کُره) نام دارد که در پارادایس، نوادا، در نزدیکی نوار لاس‌وگاس و شرق هتل ونیشین (The Venetian Resort) قرار گرفته است.

با ۱۱۲ متر ارتفاع، ۱۵۷ متر عرض و مساحتی برابر با ۸۱۳۰۰ مترمربع، Sphere درحال‌حاضر لقب بزرگترین سازه‌ی کروی‌ جهان را یدک می‌کشد. سالن نمایش کاسه‌ای شکل آن که ۱۸ هزار صندلی و ۱۶۰ هزار اسپیکر را در خود جای داده، دارای نمایشگر LED بسیار بزرگی است که با رزولوشن 16K، بیشترین وضوح ممکن را ارائه می‌‌دهد. نمای بیرونی این کره نیز مجهز به ۱٫۲ میلیون نمایشگر LED در ابعاد توپ هاکی است که می‌توانند هر چیزی را که تصور می‌کنید، به تصویر بکشند؛ از طرح واقع‌گرایانه‌ی کره‌ی زمین گرفته تا حدقه‌ی چشم غول پیکر، کدوی هالووین، توپ بسکتبال و گوی برفی کریسمس.

این سازه‌‌ی ۲٫۳ میلیارد دلاری به شرکت مدیسون اسکوئر گاردن (Madison Square Garden) تعلق دارد و برای برگزاری کنسرت‌، نمایش فیلم و رویدادهای ورزشی ازجمله بوکس و هنرهای رزمی ترکیبی به کار می‌رود. طراحی آن هم توسط شرکت معماری Populous انجام شده که در کارنامه‌اش، ساخت محل برگزاری سوپر بول و جام جهانی فوتبال به چشم می‌خورد.

شاید برایتان سؤال شده که در پس ساخت این سازه‌ی شگفت‌انگیز که مدیر عملیاتی‌اش آن را «سالن نمایش آینده» توصیف می‌کند، چه اسراری نهفته است. برای طراحی Sphere از چندین فرمول ریاضی استفاده شده که برخی از آن‌ها به‌اندازه‌ی چند قرن قدمت دارند و برخی دیگر انگار از دل تکنولوژی و مهندسی قرن ۲۲ بیرون آمده‌اند.

در ادامه با برخی از این فرمول‌ها و قوانین ریاضی که در ساخت این استادیوم کروی نقش داشته‌اند، آشنا می‌شوید تا به قدرت علم ریاضی در تحقق رویاهای به‌ظاهر دست‌نیافتنی پی ببرید.

اجازه بدهید از فرمول‌های ساده شروع کنیم؛ در مدرسه یاد گرفتیم که مساحت کره درواقع مساحت سطح رویه‌ی آن است و از فرمول ۴ × عدد پی × شعاع × شعاع به دست می‌‌آید.

مهندسان شرکت معماری Populous به کمک همین فرمول بسیار ساده، مساحت بیرونی‌ترین لایه‌ی کره را محاسبه کردند که از ۵۳۸۸۴ مترمربع نمایشگر LED پوشیده شده است. به‌گفته‌ی سازندگان، این استادیوم کروی به بوم نقاشی نوآوارنه‌ و خلاقانه‌ای شباهت دارد که آنقدر بزرگ و درخشان است که می‌توان آن را از فضا هم دید!

فرمول ساده‌ی دیگری که در ساخت این استادیوم آیند‌ه‌نگرانه به کار رفته است، فرمول محاسبه‌ی حجم کره است؛ یعنی ۴/۳ × عدد پی × شعاع × شعاع × شعاع. مهندسان برای محاسبه‌ی متراژ فضای داخلی استادیوم، به حجم کره نیاز داشتند.

محاسبه‌ی حجم کره همچنین به ‌آن‌ها نشان داد تا چه حد می‌توانند تکنولوژی‌های به‌کاررفته در استادیوم، از نمایشگر ال‌ای‌دی ۱۵ هزار مترمربعی (اندازه‌ی ۴ زمین فوتبال!) گرفته تا ۱۷۳۸۵ صندلی را در بزرگ‌ترین اندازه‌ی خود بسازند.

جالب است بدانید کل مجسمه‌ی آزادی با ۹۳ متر ارتفاع می‌تواند داخل این کره جای بگیرد.

نوبتی هم که باشد نوبت مهم‌ترین و مرموزترین عدد جهان است؛ عدد پی (π) که تقریباً به هر جا نگاه می‌کنیم و در اکثر فرایندهای رخ‌داده در دنیا، رد پایی از آن را می‌بینیم. اکثر معادلات مربوط به ساخت Sphere هم جایی به عدد پی می‌‌رسند.

در دنیای محاسبات هندسی،‌ عدد پی که به شکل اعشاری و البته تقریبی ۳٫۱۴ می‌شناسیم، نسبت محیط هر دایره به قطر آن است. به کمک همین عدد است که می‌توان اندازه‌ی هر چیز، از پیتزا گرفته تا موقعیت دقیق بهترین صندلی در سالن نمایش را اندازه‌گیری کرد.

خب اینجا دیگر از دایره‌ی فرمول‌های ساده‌ای که در مدرسه یاد گرفتیم، خارج می‌شویم. روش المان محدود (Finite Element Method) یا اصطلاحاً «FEM»، درواقع روش عددی بسیار رایجی برای حل مسئله است.

در این روش، مسائل بزرگ و پیچیده به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تری به نام «المان محدود» تقسیم می‌شوند و در مرحله‌ی بعد، معادلات ساده‌ی مربوط به این المان‌ها کنار هم قرار می‌گیرند تا در یک معادله‌ی بزرگ‌تر، فرم کلی مسئله را تشکیل دهند.

مهندسان Populous از روش المان محدود برای شبیه‌سازی کل سازه استفاده کردند؛‌ به این معنی ‌که بسیاری از بخش‌های این کره قبل از اینکه در دنیای واقعی ساخته شود، ابتدا در واقعیت مجازی مدل‌سازی شدند. مهندسان به‌کمک روش المان محدود، معادلات مربوط به ساخت بخش‌های مختلف کره را به مدل‌های کامپیوتری‌ تبدیل کردند تا پیش از ساخت آن‌ها، میزان استحکام و عملکردشان را در واقعیت مجازی آزمایش کنند.

واژه‌ی ژئودزیک از ژئودزی، دانش اندازه‌گیری اندازه و شکل زمین گرفته شده و دور از ذهن نیست که در ساخت سازه‌ای که شباهت زیادی به کره‌ی زمین دارد، از این معادله استفاده شود. ژئودزیک (Geodesic) به‌طور کلی به کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه روی کره گفته می‌شود.

اما این معادله چه ربطی به Sphere دارد؟ درست است که این سازه، کروی است، اما اگر به اسکلت خارجی کره با دقت نگاه کنید،، می‌بینید که این کره‌ی غول‌پیکر از کنار هم قرار گرفتن تعداد بی‌شماری مثلث به‌وجود آمده است! درواقع، با نگاه به اسکلت خارجی کره می‌توانید قوانین ریاضیات ژئودزیک را به چشم ببینید که در آن صدها مثلث طوری کنار هم قرار گرفته‌اند تا شکل هندسی ۳۶۰ درجه‌ای را ایجاد کنند.

هر سازه‌ی مربوط به صنعت سرگرمی را که در نظر بگیرید، از سینما و استادیوم گرفته تا سالن تئاتر و کنسرت، ساخت هیچ‌کدام از آن‌ها بدون سر در آوردن از علم زاویه‌ها ممکن نیست.

مهندسان از قانون سینوس‌ها که رابطه‌ی طول ضلع مثلث و زاویه‌ی مقابل آن ضلع را مشخص می‌کند، برای محاسبه‌ی زوایای معماری در سرتاسر Sphere استفاده کردند؛ از شیب پله‌های برقی آتریوم گرفته تا انحنای طاق‌هایی که مقابل حضار قرار دارند.

راستش این یکی حتی فارسی‌اش هم سخت است، چه برسد به فرمول‌هایش! اما اگر بخواهیم خیلی ساده توضیح دهیم، استفاده از فرمول افکنش استریونگاری به مهندسان کمک کرد از سازوکار ایجاد تصاویر ۳۶۰ درجه در Sphere سر دربیاورند.

به این صورت که دوربین‌های سفارشی Sphere که به‌نوعی سازوکار چشم‌ انسان را تقلید می‌کنند، با استفاده از فرمول Stereographic Projection تصاویر فوق‌عریضی ثبت می‌کنند که قادرند به‌طور یکپارچه روی نمایشگر منحنی LED قرار بگیرند.

آیا کسی را می‌شناسید که بینایی کامل ۲۰/۲۰ داشته باشد؟ معادله‌ی حدت بینایی (Visual Acuity) کوچک‌ترین نقطه‌ای را که چشم می‌تواند در فاصله‌ای مشخص ببیند، محاسبه می‌کند.

چشم‌پزشک از این معادله برای تشخیص نمره‌ی چشم شما استفاده می‌کند و مهندسان Sphere هم از آن برای محاسبه‌ی تعداد پیکسل‌های لازم برای نمایش تصویر با وضوح فوق‌العاده بالا استفاده کردند.

قانون اسنل (Snell’s Law) رابطه‌ای ریاضی است که به بیان ساده، زاویه‌ی بازتاب نور در مرز مشترک دو محیط را تعیین می‌کند. این قانون نشان می‌دهد که چگونه نور از درون لنز دوربین‌های ۳۶۰ درجه‌ی Sphere عبور می‌کند.

اگر تا به‌حال برای فوکوس بهتر روی تصویر، لنز دوربین آنالوگتان را پیچانده‌اید یا جهت دوربین گوشی خود را عوض کرده‌اید، درواقع دارید سازوکار قانون اسنل را در عمل مشاهده می‌کنید. به‌عبارت دیگر، به‌خاطر همین معادله است که مهندسان می‌توانند تصاویر کاملاً شفاف با وضوح 16K را در فوکوس کامل نمایش دهند.

نمایشگر LED غول‌پیکر سالن Sphere دورتادور مخاطبان را فرا می‌گیرد تا آن‌ها را در محیط بصری کاملا فراگیر و واقع‌گرایانه‌ای غرق کند.

مهندسان برای اینکه بفهمند تصاویر ثبت‌شده را چگونه روی این نمایشگر منحنی غول‌پیکر قرار دهند تا واقع‌گرایانه به نظر برسد، از فرمول‌های مربوط به لنزهای پروژکتور و ریاضیات مثلثات کروی که روابط بین زاویه‌‌ها و اضلاع مثلث کروی را بررسی می‌کند، استفاده می‌کنند.

معادله‌ی فنگر (Fanger’s Equation) اسم جالبی دارد؛ آسایش گرمایی. این معادله پیش‌بینی می‌کند که افرادی که در Sphere حضور دارند، تغییرات دما را چگونه احساس می‌کنند.

مهندسان از معادله‌ی فنگر برای محاسبه‌ی همه‌چیز، از تنظیمات ایدئال برای سیستم خنک‌کننده‌ی سالن نمایش گرفته تا کاهش درجه‌ برای تجربه‌ی چهاربعدی و واقع‌گرایانه‌ی کولاک در سینما، استفاده کرده‌اند.

یکی از سؤال‌هایی که مهندسان برای ساخت Sphere باید به آن جواب می‌دادند، این بود: چه باید کرد تا تجهیزات جلوه‌های چهاربعدی Sphere نیروی مربوط به انفجار را بدون اینکه خودشان منفجر شوند، به‌طور واقع‌گرایانه‌ای شبیه‌سازی کنند؟

معادله‌ی تشکیل‌دهنده‌ی تنش خطی (Linear Stress Constitutive Equation) تعیین می‌کند که چه حجمی از هوا را می‌توان بدون شکستن یا خم کردن ماده از درون آن عبور داد؛ درمورد Sphere، این عدد ۴۲۴۴۷ مترمکعب در دقیقه است!

اثر ونتوری (Venturi Effect) معادله‌ای است که میزان کاهش فشار در سیال درحال عبور از لوله‌ای باریک را محاسبه می‌کند. درمورد Sphere، این معادله برای جریان هوای مربوط به جلوه‌های ویژه که قرار است وزش باد را شبیه‌سازی کنند، به کار رفته است.

جالب است بدانید تجهیزات جلوه‌های ویژه‌ی Sphere به‌قدری قدرتمند هستند که از نظر فنی می‌توانند جریان‌های بادی پرفشاری با سرعت ۲۲۵ کیلومتر در ساعت را ایجاد کنند که می‌تواند سقف یک ساختمان را از جا بکند! مهندسان به کمک اثر ونتوری می‌توانند فشار جریان هوا در لوله‌ها را در حد نسیمی ملایم کاهش دهند.

معادلات ناویه-استوکس (Navier Stokes Equations) یکی از هفت مسئله‌ی جایزه‌ی هزاره است که اگرچه ساده به‌نظر می‌رسد، هنوز اثبات نشده و هر کسی که بتواند آن را از این حالت غیرقابل پیش‌بینی بیرون آورد، برنده‌ی یک میلیون دلار جایزه نقدی خواهد شد.

اما تا آن زمان، از این معادلات دیفرانسیل برای توصیف حرکت سیالات تراکم‌پذیر استفاده می‌شود. در مورد Sphere، از معادلات ناویه-استوکس برای جلوه‌های ویژه مربوط به ایجاد مه استفاده شده است. مهندسان با محاسبه‌ی جریان و رانش جلوه‌های چهاربعدی به کمک این معادلات می‌توانند درون سالن، فضایی فرازمینی و اسرارآمیز ایجاد کنند.

در Sphere، نور و صدا فقط به فضا فرستاده نمی‌شود؛ بلکه دریافت هم می‌شود. معادلات قانون هارتلی می‌گویند که چگونه می‌توان داده‌ها را در فواصل گسترده ارسال کرد.

دفعه‌ی بعد که ویدیوی زنده‌ای از زمین یا ستاره‌ها یا حتی صداهای مربوط به فضا روی سطح بیرونی Sphere نقش بست، بدانید که پای قانون هارتلی‌ (Hartley’s Law) در میان است.

برای گیمرها و افرادی که درحال استریم فیلم و سریال هستند، هیچ چیز بدتر از تاخیر و لگ نیست؛ راه‌حل این مشکل در قضیه‌ی شانون‌هارتلی نهفته است که حداکثر سرعت انتقال اطلاعات از طریق کانالی با پهنای باند مشخص را تعیین می‌کند.

مهندسان با استفاده‌ از ریاضیات قضیه‌ی شانون‌هارتلی (Shannon-Hartley Theorem) توانستند طوری روی سیستم وای‌فای فوق‌سریع کل فضای Sphere کار کنند تا تمام ده هزار نفر حاضر در سالن نشسته در هر صندلی، بتوانند همزمان و بدون هیچ تأخیری با نمایشگر LED تعامل داشته باشند.

اگر برایتان سؤال شده که پشت جادوی تولید باکیفیت‌ترین صدا در صنعت اسپیکرها چه چیزی نهفته شده، پاسخ اصل هویگنس-فِرِنل (Huygens-Fresnel Principle) است. این اصل چگونگی انتشار و ترکیب امواج صوتی با یکدیگر برای تولید امواج جدید را توصیف می‌کند.

مهندسان به‌کمک اصل هویگنس-فرنل موفق شدند صدایی خلق کنند که برای گوش‌ها بهینه باشد، دامنه‌‌اش را در فواصل طولانی حفظ کند و با دقتی برابر با واقعیت، افراد را در صدایی فراگیر غوطه‌ور کند.

مهندسان از معادله‌ی هلمهولتز (Helmholtz Equation) برای محاسبه‌ی نحوه‌ی حرکت صدای سه‌بعدی از درون Sphere استفاده کردند.

پشت نمایشگر LED درون این کره، ۱۶۸ هزار اسپیکر وجود دارد که از این معادله و با استفاده از فناوری صوتی جدیدی به‌نام «سنتز میدان موج»‌ برای خلق صدای ۳۶۰ درجه و واقع‌گرایانه بهره بردند.

انتگرال کیرشهوف-هلمهولتز‌ که درواقع ترکیب معادله‌ی هلمهولتز و قضیه‌ی انتگرال کیرشهوف است، درباره‌ی فشار صوت صحبت می‌کند. از خود قضیه انتگرال کیرشهوف هم برای هدایت لیزرگونه‌ی صدا استفاده می‌شود تا در مکان‌های مختلف سالن، تجربه‌ی منحصربه‌فردی ارائه شود.

مهندسان از انتگرال کیرشهوف-هلمهولتز (Kirchhoff-Helmholtz) برای تولید صدای شفاف Sphere استفاده کردند. در بیشتر سالن‌ها، پخش یکسان صدا معضل بزرگی است؛ طوری‌ که برخی از صندلی‌ها تجربه‌ی صوتی بهتری از سایرین دارند. اما در مورد Sphere، جادوی ریاضی به مهندسان کمک کرد تا هر صندلی‌ای که در سالن وجود دارد بهترین صدای ممکن را دریافت کند.

فروصوت، بسامدی کمتر از محدوده‌ی بسامد شنیداری انسان دارد، به‌همین خاطر صوتی است که حس می‌شود، اما شنیده نمی‌شود.

مهندسان از معادله‌ی موج (Wave Equation) برای تنظیم و کنترل سیستم‌های صوتی Sphere استفاده کردند تا طیفی از جلوه‌های شگفت‌انگیز از حس جزرومد دریا گرفته تا حس وارونه شدن گرانش را به واقع‌بینانه‌ترین شکل ممکن شبیه‌سازی کنند.

تابه‌حال به این نکته دقت کرده‌اید که وقتی می‌خواهید با گوشی‌تان سلفی بگیرید، دوربین گوشی چقدر سریع می‌تواند موقعیت صورت شما را تشخیص دهد؟

عملگر لاپلاس (Laplacian Operator) معادله‌ای است که نشان می‌دهد چگونه دوربین‌ها و کامپیوترها می‌توانند چیزی را که می‌بینند، درک کنند. مهندسان از ابزارهای هوش مصنوعی نظیر این برای کمک به ثبت و پردازش تصاویر اشخاص با وضوح فوق‌العاده بالا استفاده می‌کنند.

یکی از جلوه‌های چهاربعدی Sphere پخش بو از درون لوله‌ها و شلنگ‌هایی است که در سرتاسر سازه قرار گرفته‌اند. مهندسان به‌کمک معادله‌ی تکانه‌‌ی کوشی (Cauchy Momentum Equation) اندازه‌ی مناسب لوله‌ها برای حمل بخار فوق‌العاده داغ و هوای فشرده مربوط به جلوه‌های جوی Sphere را به دست آوردند.

افرادی که از Sphere بازدید می‌کنند، به مکان‌های شگفت‌انگیزی سفر می‌کنند؛ از نقاط دوردست در فضا بگیر تا اعماق اقیانوس.

معادله‌ی سلمایر (Sellmeier Equation) به مهندسان کمک کرد تا بفهمند نور چگونه در محیط‌های مختلف حرکت می‌کند و به کمک این داده، بتوانند جلوه‌های نوری را تا حد امکان به واقعیت نزدیک کنند.

سالن Sphere دو-سه ماه دیگر با اجرای زنده‌ی گروه U2 و نمایش فیلمی از درن آرنوفسکی که اتفاقاً اولین فیلم بلندش «پی» نام داشت، به روی عموم باز می‌شود. باید تا افتتاحیه این سالن منتظر ماند و دید آیا توانسته با جادوی ریاضی، به تمام چیزهایی که وعده داده است، برسد یا خیر. اما اگر همه‌چیز درست پیش برود، تجربه‌ی تماشای فیلم و اجرای زنده‌ی موسیقی ممکن است به‌طور کامل دست‌خوش تغییر شود و به‌گفته‌ی مدیر عملیاتی‌ این سازه، Sphere را به «سالن نمایش آینده» تبدیل کند.