همه‌چیز درباره نوار موبیوس و معمایی که پس از ۵۰ سال حل شد

همین‌حالا اگر یک نوار کاغذی مستطیلی‌شکل بردارید، آن را ۱۸۰ درجه بپیچانید و بعد انتهایش را به هم بچسبانید تا یک حلقه ایجاد شود، یک نوار موبیوس (Möbius) ساخته‌اید. به همین سادگی! البته فریب سادگی ساختن نوار موبیوس را نخورید؛ چراکه ویژگی‌های این نوار به‌قدری پیچیده است که سال‌ها است ذهن ریاضیدانان را به‌ خود درگیر کرده. اما حالا، پس از ۵۰ سال، ریاضیدان ۵۷ ساله‌‌ی آمریکایی به نام ریچارد ایوان شوارتز (Richard Evan Schwartz) از دانشگاه بروان سرانجام موفق شد معمای نوار موبیوس را حل کند.

پیش از آنکه به خود معما بپردازیم، خوب است درباره‌ی ویژگی‌های نوار موبیوس و اینکه چرا برای ریاضیدانان اینقدر جذاب و شگفت‌انگیز است،‌ بدانید. مهم‌ترین ویژگی نوار موبیوس این است که فقط یک رو و یک لبه دارد؛ یعنی اگر با مداد خطی در طول نوار بکشید و ‌تا انتها ادامه دهید، این خط دوباره به نقطه‌ی شروع باز می‌گردد، درحالی‌که به‌نظر می‌رسد دو طرف نوار خط کشیده شده است. یا اگر سعی کنید «دو طرف» نوار را با دو رنگ مختلف رنگ کنید، هرگز موفق نخواهید شد؛ چون درنهایت می‌بینید که هر «دو طرف» نوار به همان رنگ اول آمیخته شده است.

یک رو بودن نوار موبیوس به آن خاصیت «جهت‌ناپذیری» (Nonorientability) بخشیده است؛ به‌این‌معنی که ریاضیدانان نمی‌توانند مختصاتی مثل بالا و پایین یا چپ و راست را به آن اختصاص دهند. جهت‌ناپذیری نوار موبیوس نتایج جالبی در پی دارد، به‌این شکل که حرکت در امتداد آن جهت‌ها را وارونه می‌کند.

برای فهم آسان‌تر جهت‌ناپذیری نوار موبیوس، بیایید سناریوی «کرم‌چاله‌ی جهت‌ناپذیر» را در نظر بگیریم که ساختاری شبیه به این نوار دارد. اگر فضانوردی با موشک در امتداد این کرم‌چاله عبور کند، با هر بار رسیدن به «پیچ»، وارونه می‌شود؛ مثلا قلبش در سمت راست خواهد بود یا اگر پیش از سفر پای راستش را از دست داده بوده، حالا پای چپش را از دست داده است. مثل این است که در فتوشاپ، از گزینه‌ی Flip روی تصویر استفاده کنیم.

ویژگی شگفت‌انگیز دیگر نوار موبیوس این است که فقط یک مرز (لبه) دارد؛ به‌این‌معنی که با یک بار حرکت در امتداد لبه‌های نوار، تمام مرز آن را می توانیم طی کنیم. خاصیت جالب دیگر اینکه اگر نوار از دقیقا از وسط با قیچی ببریم، به‌جای داشتن دو حلقه‌ی یکسان و مجزا، یک نوار غیرموبیوسی دورویه با طول بیشتر خواهیم داشت. اگر هم از یک‌سوم نوار شروع به بریدن کنیم، در انتها دو حلقه‌ی در هم فرورفته خواهیم داشت که یکی از آن‌ها، نوار موبیوسی یک‌رویه و دیگری یک نوار دورویه با طول دوبرابر خواهد بود.

نوار موبیوس توسط دو ریاضیدان آلمانی به نام‌های آگوست فردیناند موبیوس (August Ferdinand Möbius) و یوهان بندیکت لیستینگ (Johann Benedict Listing) به‌طور مستقل در سال ۱۸۵۸ کشف شد، اما چون آگوست موبیوس چند ماه زودتر مقاله‌اش را چاپ کرد، این نوار به افتخار او نام‌گذاری شد؛ هرچند برخی شواهد نشان می‌دهد کارل فریدریش گاوس (Carl Friedrich Gauss) که به «ریاضی‌دان اول» و «بزرگترین ریاضی‌دان پس از عهد عتیق» شهرت دارد و لیستینگ هم در محضر او تربیت شده بود، از وجود این اشکال آگاه بوده است.

اینکه چه کسی برای اولین بار به این نوارها فکر کرد، به‌کنار؛ تا همین چند وقت پیش ریاضیدانان از حل مسئله‌‌ای به‌ظاهر ساده درباره‌ی نوارهای موبیوس عاجز بودند؛ اینکه کوتاه‌ترین نوار کاغذی برای ساختن نوار موبیوسی که خودش را قطع نکند، چقدر است؟

در سال ۱۹۷۷، دو ریاضی‌دان به‌نام‌های چارلز سیدنی ویور (Charles Sidney Weaver) و بنجامین ریگلر هالپرن (Benjamin Rigler Halpern) معمای حداقل اندازه‌ی نوار موبیوس را مطرح کردند و همان موقع به این نکته اشاره کردند که اگر نوار موبیوسی که می‌سازید، خودش را قطع کند، حل این مسئله آسان می‌شود؛ اما مشکل زمانی شروع می‌شود که بخواهیم کوتاه‌ترین اندازه‌ی نوار را در شرایطی که خودش را قطع نکند، تعیین کنیم. هالپرن و ویور برای حداقل اندازه‌ی نوار موبیوس مقداری را پیشنهاد دادند، اما نتوانستند این ایده را که «حدس هالپرن-ویور» نامیده می‌شود، اثبات کنند.

ریچارد شوارتز، کسی که معمای نوار موبیوس را حل کرد و به‌خاطر خدمات ارزنده‌اش به نظریه‌ی گروه هندسی شناخته شده است، برای اولین بار حدود چهار سال پیش از این معما مطلع شد. یکی از روزها، ریاضی‌دانی به‌نام سرگئی تاباچنیکوف (Sergei Tabachnikov) از دانشگاه پنسیلوانیا مسئله‌ی نوار موبیوس را برای او شرح داد و شوارتز فصلی در این زمینه در کتابی که تاباچنیکوف و دمیتری فوکس (Dmitry Fuchs) از دانشگاه کالیفرنیا نوشته بودند، خواند. ذهن او پس از خواندن این فصل از کتاب به‌شدت درگیر نوار موبیوس شد تا اینکه چند وقت پیش توانست این معمای ۵۰ ساله را بالاخره حل کند.

شوارتز در مقاله‌‌ی منتشر شده در arXiv.org در ۲۴ آگوست ۲۰۲۳، حدس هالپرن-ویور را اثبات کرد. او نشان داد که نوارهای موبیوس را فقط می‌توان با نسبت ابعاد بیشتر از رادیکال سه، یعنی حدود ۱٫۷۳ ساخت. برای مثال، اگر پهنای نوار کاغذی که می‌خواهید با آن نوار موبیوس بسازید، یک سانتی‌متر باشد، طول آن باید بیشتر از رادیکال‌ سه سانتی‌متر باشد.

حل این معمای ۵۰ ساله به خلاقیت ریاضی نیاز داشت. فوکس می‌گوید:

وقتی با رویکردی استاندارد سراغ این‌جور مسائل می‌رویم، تشخیص سطوح خود‌متقاطع از سطوح غیرخودمتقاطع واقعا سخت است. برای حل این چالش، باید دید هندسی شوارتز را داشته باشید که در نوع خودش بسیار نادر است!

اما شوارتز چطور به این راه‌حل رسید و اصلا این راه‌حل چه بود؟ خلاقیت او در این بود که توانست مسئله‌ را به قطعات کوچک‌تر تقسیم کند. برای حل هر یک از قطعات هم فقط کافی بود از اصول اولیه‌ی هندسه کمک گرفت.

البته همه‌چیز به همین سادگی نبود. شوارتز پیش از رسیدن به راه‌حل، چند سال روش‌های متفاوت را امتحان کرد، اما به جواب نرسید. تا اینکه اخیرا تصمیم گرفت دوباره برای حل این معما تلاش کند، چون حسی به او می‌گفت روشی که در مقاله‌ی ۲۰۲۱ خود به کار برده بود، باید جواب می‌داد.

در راه‌حل شوارتز، لم الگوی T اهمیت بسیار زیادی دارد. این لم با ایده‌ی ساده‌ی زیر شروع می‌شود:

نوارهای موبیوس و کلا هر شی کاغذی، روی سطح خود خطوط مستقیم دارند که سطوح حاکم نامیده می‌شوند. هرگاه کاغذی در فضا باشد، حتی اگر حسابی در هم پیچ‌خورده باشد، باز هم در هر نقطه از این کاغذ، خط مستقیمی از آن عبور می‌کند. می‌توانید در ذهن خود این خطوط مستقیم را روی نوار موبیوس ترسیم کنید، طوری‌که در دو انتها به لبه‌ی نوار می‌رسند.

شوارتز در بررسی‌های اولیه‌اش دو خط مستقیمی را پیدا کرد که عمود بر یکدیگر و همچنین در یک صفحه هستند و روی هر نوار موبیوس یک الگوی T را تشکیل می‌دهند. به‌گفته‌ی شوارتز، «اصلا واضح نیست که این خطوط وجود دارند.» درواقع، نشان دادن اینکه این خطوط وجود دارند، اولین بخش از اثبات این لم بود.

وقتی این حس شوارتز را قلقلک داد که جایی در این مقاله راه را اشتباه رفته است، تصمیم گرفت روش دیگری را امتحان کند. او با خود فکر کرد: «شاید اگر بتوانم نشان دهم که می‌توان نوارهای موبیوس را صاف و مسطح کرد، می‌توانم آن را به مسئله‌ی ساده‌تری تبدیل کنم تا بدین‌ترتیب فقط به اشیای مسطح فکر کنم.»

در جریان همین آزمایش‌ها، شوارتز یکی از نوارها را برید و در کمال شگفتی متوجه شد که شکلی که تا مدت‌ها فکر می‌کرده متوازی الاضلاع است، ذوزنقه بوده است. شواترز وقتی متوجه اشتباهش شد، ابتدا از دست خودش آزرده شد، چون به‌گفته‌ی خودش، از اشتباه کردن متنفر است؛ اما بعد مصمم شد از اطلاعات جدیدی که به‌دست آورده، در محاسبات قبلی‌اش استفاده کند.

محاسبه‌ی درست به من عددی را داد که همان جواب معما بود. من کاملا مبهوت شده بودم…سه روز بعد را اصلا نخوابیدم، فقط داشتم مقاله‌اش را می‌نوشتم.

تاباچنیکوف درباره‌ی حل مسئله‌ی نوار روبیوس می‌گوید:

تلاش برای حل مسئله‌ای که این همه مدت بی‌جواب مانده، دل‌وجرئت می‌خواهد. رویکرد شوراتز به ریاضی هم همین است؛ او دوست دارد با مسائلی کلنجار برود که به بیان، ساده‌، اما در عمل دشوار هستند. معمولا او زاویه‌های جدیدی از این مسائل را می‌بیند که محققان قبلی به آن بی‌توجه بوده‌اند.

کشف نوار موبیوس از پایه‌های اصلی شکل‌گیری رشته‌ی توپولوژی در ریاضیات بود و اصلا این یوهان بندیکت لیستینگ بود که نام توپولوژی را برای بررسی خواص هندسی اشیا و جای‌گیری آن‌ها در فضا ابداع کرد.

در دنیای توپولوژی، با عبارت طنزآمیزی توپولوژیست‌ها را توصیف می‌کنند؛ می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان لیوان قهوه و دونات نمی‌بیند! چون اگر یک لیوان قهوه را بردارید، داخلش را پر کنید و دسته‌ را کمی به‌سمت بیرون بکشید، درنهایت به شکل یک دونات گرد می‌رسید. اما همین جمله‌ی طنزآمیز را می‌توان به‌سبک خود توپولوژیست‌ها جور دیگری دید و بیان کرد؛ اینکه توپولوژیست کسی است که می‌تواند با نگاه کردن به لیوان قهوه، شکل یک دونات را در آن ببیند. معمای ۵۰ ساله‌ی نوار موبیوس هم تقریبا به همین شکل حل شد. به‌قول شاعر، چشم‌ها را باید شست، جور دیگر باید دید.