معنای مساوی در ریاضی چیست؟ پرسشی ظاهرا ساده که پاسخ‌های پیچیده دارد

وقتی می‌نویسیم ۴=۲+۲، علامت = چه معنایی دارد؟ این پرسش برای ریاضی‌دان‌ها پیچیده است، زیرا هنوز بر سر آنچه باعث تساوی دو چیز می‌شود، توافق ندارند. پژوهشی جدید برای اجرای اثبات‌های ریاضی در برنامه‌های کامپیوتری باعث شد این مسئله اهمیت زیادی پیدا کند.

بارکلی روسر، نظریه‌پرداز عددی در کتاب منطق برای ریاضیات در سال ۱۹۵۳ می‌نویسد:

مفهوم x=y به این معنی است که x و y دو اسم از یک شیء یکسان هستند. ما محدودیتی برای ماهیت شیء یادشده نداریم؛ در نتیجه تساوی نه‌تنها بین اعداد بلکه بین مجموعه‌ها، توابع یا حتی بین اسامی هر شیء منطقی رایج است.

تعریف یادشده مبهم اما کاربردی بود؛ با این‌حال مشکل واقعی زمانی شروع شد که سعی کردیم تعریف فوق را یا برای دانشمندان کامپیوتر یا بدتر از آن برای خود کامپیوترها توضیح دهیم.

اولین تعریف تساوی یک تعریف آشنا است. اغلب ریاضی‌دان‌ها آن را به معنی برابر بودن دو طرف معادله تفسیر می‌کنند که می‌توان با مجموعه‌ای از تبدیل‌های منطقی از یک سمت به سمت دیگر آن را اثبات کرد. از سویی بااینکه علامت = تنها در قرن شانزدهم ظاهر شده است، این مفهوم از تساوی به عهد عتیق بازمی‌گردد.

در اواخر قرن نوزدهم بود که با توسعه‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها که امروزه شالوده‌ی بخش زیادی از ریاضیات مدرن به شمار می‌رود، همه‌چیز تغییر کرد. نظریه‌ی مجموعه‌ها با مجموعه‌ها یا سری‌هایی از اشیای ریاضی سروکار دارد و تعریفی دیگر از تساوی را ارائه می‌دهد: اگر دو مجموعه دارای عنصرهای یکسانی باشند، مساوی درنظر گرفته می‌شوند که به تعریفی اصلی ریاضی مساوی شبیه است. برای مثال مجموعه‌های {1,2,3} و {3,2,1} برابر هستند زیرا ترتیب عنصرها در یک مجموعه اهمیتی ندارند.

با پیشرفت نظریه‌ی مجموعه‌ها، ریاضی‌دان‌ها به این نتیجه رسیدند که دو مجموعه در صورتی برابر هستند که روشی واضح برای ایجاد نگاشت بین آن‌ها وجود داشته باشد، حتی اگر دقیقا دارای عنصرهای یکسان نباشند. برای درک چرایی این موضوع، مجموعه‌های {1,2,3} و {a,b,c} را درنظر بگیرید. واضح است که عنصرهای هر مجموعه متفاوت هستند، بنابراین مجموعه‌ها برابر نیستند؛ اما همیشه‌ روش‌هایی برای نگاشت بین دو مجموعه وجود دارد؛ به‌طوری‌که هر حرف الفبا به یک عدد تصویر می‌شود. ریاضی‌دان‌ها به این نوع نگاشت یک‌ریختی یا ایزومورفیسم می‌گویند. در این نمونه، یک‌ریختی‌های متعددی وجود دارند، زیرا می‌توانید انتخاب کنید که هر عدد به یک حرف الفبا تخصیص پیدا کند، اما در بسیاری از نمونه‌ها تنها یک انتخاب واضح وجود دارد که در این صورت به آن یک‌ریختی متعارف می‌گویند.

از آنجا که یک‌ریختی متعارف دو مجموعه تنها راه ممکن برای اتصال آن‌ها است، بسیاری از ریاضی‌دان‌ها این اتصال را نوعی تساوی درنظر می‌گیرند، گرچه از نظر تخصصی به معنی مفهوم تساوی که اغلب افراد می‌شناسند، نیست. کوین بوزارد از کالج سلطنتی لندن می‌گوید:

این مجموعه‌ها به شیوه‌ای کاملا طبیعی با یکدیگر منطبق هستند و ریاضی‌دان‌ها آن‌ها را مساوی نیز درنظر می‌گیرند

برای ریاضی‌دان‌ها داشتن دو تعریف از تساوی هنگام نوشتن مقاله یا ارائه نگران‌کننده نیست، زیرا معنا همیشه از زمینه قابل فهم است، اما مشکلاتی را برای برنامه‌های کامپیوتری به دنبال دارد که به دستورالعمل‌های دقیق نیاز دارند.

برای حل این مشکل، پژوهشگرها به بررسی چگونگی کاربرد یک‌ریختی متعارف به‌عنوان تساوی و مشکلات آن در سیستم‌های اثبات کامپیوتری پرداختند. به‌ویژه پژوهش الکساندر گروتندیک، یکی از ریاضیدانان پیشتاز قرن بیستم امروزه به‌سختی می‌تواند فرمول‌بندی شود؛ زیرا هیچ‌کدام از سیستم‌ها به روشی که ریاضی‌دان‌هایی مثل گروتندیک از تساوی استفاده می‌کردند، نمی‌توانند این مسئله را درک کنند.

مشکل فوق ریشه در روش‌های اثبات ریاضیدان‌ها نیز دارد. برای اثبات هر چیزی در ابتدا باید فرضیه‌هایی موسوم به اصل یا آکسیوم را بسازید که بدون نیاز به اثبات صحیح هستند و چارچوبی منطقی را فراهم می‌کنند. از ابتدای قرن بیستم، ریاضیدان‌ها به مجموعه‌ای از آکسیوم‌ها در نظریه‌ی مجموعه‌ها تکیه کردند که شالوده‌ای محکم را فراهم می‌کنند.

در نتیجه به‌عنوان یک ریاضی‌دان تا حدی می‌دانید که چه کار می‌کنید و نیازی نیست نگران آن باشید. بااین‌حال زمانی که پای کامپیوترها به میان بیاید، مسئله تا حدی متفاوت می‌شود؛ زیرا کامپیوترها درست به شیوه‌ای محاسبات ریاضی را انجام می‌دهند که گویی قرار است برای هر وعده‌ی غذایی وسایل آشپزخانه را از ابتدا بسازند؛ بنابراین وقتی قرار است اثبات مسئله‌ای را بر عهده‌ی کامپیوتر بگذارید، باید همه چیز را به صورت دقیق و واضح برای آن تعریف کنید.

به باور برخی ریاضی‌دان‌ها برای حل این مشکل باید مبانی ریاضیات را بازتعریف کنیم تا یک‌ریختی‌های متعارف و تساوی یکسان شوند. سپس می‌توانیم برنامه‌های کامپیوتری را حول محور این تعریف‌ها بسازیم.

به این منظور تلاش‌هایی در حوزه‌ی یک رشته‌ی ریاضی موسوم به نظریه‌ی نوع هموتوپی در جریان هستند. بر اساس این نظریه، تساوی سنتی و یک‌ریختی متعارف به‌صورت یکسان تعریف می‌شوند. به‌جای اینکه دستیارهای اثبات موجود را تغییر دهیم تا با یک‌ریختی متعارف سازگار باشند، باید نظریه‌ی نوع را تطبیق دهیم و از دستیارهای اثبات جایگزین برای کار مستقیم با آن استفاده کنیم.

بوزارد طرفدار این راه‌حل نیست چرا که زمان زیادی را صرف استفاده از ابزارهای فعلی برای فرمول‌بندی اثبات‌های ریاضی کرده است. به عقیده‌ی بوزارد، آکسیوم‌های ریاضی باید همان‌طور که هستند باقی بمانند و در عوض باید سیستم‌های موجود را تغییر داد. او می‌گوید:

شاید راه‌حل این مشکل این باشد که صرفا ریاضی‌دان‌ها را به حال خود بگذاریم. به سختی می‌توان ریاضی‌دان‌ها را تغییر داد پس بهتر است در عوض برای بهبود سیستم‌های کامپیوتری تلاش کنیم.