چگونه رادیکال ۲ یک عدد شد؟

یونانیان باستان فکر می‌کردند جهان را می‌توان فقط با استفاده از اعداد حسابی (اعداد طبیعی که صفر هم به آن‌ها اضافه شده ‌است) و نسبت بین آن‌ها (کسر یا چیزی که اکنون عدد کسری یا گویا می‌خوانیم) به‌طور کامل توصیف کرد. اما وقتی آن‌ها مربعی با ضلعی به طول یک واحد را درنظر گرفتند، این آرزو بر باد رفت و متوجه شدند قطر آن نمی‌تواند به شکل کسر نوشته شود.

اولین اثبات این موضوع (چندین اثبات وجود دارد) معمولا به فیثاغورس، فیلسوف سده ششم پیش از میلاد نسبت داده می‌شود؛ اگرچه هیچ یک از نوشته‌های او باقی نمانده و اطلاعات کمی درباره وی وجود دارد.

به مدت هزار سال، همین اندازه کفایت می‌کرد. ریاضیدانان عصر رنسانس هنگام تلاش برای حل معادلات جبری،  آنچه را که اعداد گنگ یا غیرکسری می‌نامیدند، دستکاری می‌کردند تا به شکل موردنظر خود برسند.

نماد مدرن برای ریشه‌های دوم در قرن‌های ۱۶ و ۱۷ مورد استفاده قرار گرفت. با‌این‌حال، این سوال وجود داشت که آیا ریشه دوم دو به همان شکلی که عدد ۲ وجود دارد، وجود دارد؟ مشخص نبود.

ریاضیدانان با این ابهام به زندگی خود ادامه دادند. سپس در اواسط دهه ۱۸۰۰، ریچارد ددکیند متوجه شد حسابان (که ۲۰۰ سال قبل توسط ایزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ایجاد شده بود) شالوده‌ای سست دارد.

ددکیند، ریاضیدانی محتاط اما با استعداد که به کندی کار می‌کرد و آثار نسبتا کمی را منتشر می‌کرد، می‌خواست به دانشجویان خود درباره توابع پیوسته آموزش دهد، ولی متوجه شد نمی‌تواند توضیح رضایت‌بخشی از معنای پیوسته بودن تابع ارائه دهد. او حتی تعریف دقیقی از توابع در ذهن نداشت و استدلال کرد که به درک خوبی از نحوه عملکرد اعداد نیاز دارد.

ریچارد ددکیند این سوال را مطرح کرد که آیا می‌توانید اطمینان داشته باشید که رادیکال ۲ ضرب در رادیکال ۳ برابر رادیکال ۶ می‌شود؟ او می‌خواست پاسخ‌هایی ارائه دهد. بنابراین، راهی برای تعریف و ساخت اعداد گنگ تنها با استفاده از اعداد گویا ارائه کرد. نحوه کار به این صورت است: نخست، تمام اعداد گویا را به دو مجموعه تقسیم کنید به‌طوری‌که همه کسرهای یک مجموعه کوچک‌تر از همه کسرهای مجموعه دیگر باشند. به‌عنوان مثال، در یک گروه، کل اعداد گویا را در کنار هم قرار دهید که مجذور (توان دوم) همه آن‌ها کمتر از ۲ باشد و در گروه دیگر کل اعداد گویایی را قرار دهید که مجذور آن‌ها بزرگ‌تر از ۲ باشد.

دقیقا یک «عدد» شکاف میان این دو مجموعه داده را پر می‌کند. ریاضیدانان به آن برچسب «رادیکال ۲» یا «ریشه دوم ۲» می‌دهند. برای ددکیند، عدد گنگ با یک جفت مجموعه بی‌نهایت از اعداد گویا تعریف می‌شد که چیزی را ایجاد می‌کردند که وی آن را «برش» نامید.

ددکیند نشان داد که می‌توانید کل محور اعداد را به این شکل پر کنید و برای اولین بار چیزی را به‌طور دقیق تعریف کرد که اکنون ما آن را اعداد حقیقی (مجموع اعداد گویا و اعداد گنگ) می‌نامیم.

تقریبا در همان زمان که ددکیند برش‌های خود را معرفی کرد، دوست و همکارش گئورگ کانتور نیز شروع به فکر کردن درباره اعداد گنگ کرد. این همپوشانی روی حوزه‌های مطالعه، روابط آن‌ها را پیچیده کرد.

کانتور تعریف متفاوتی از اعداد گنگ ارائه کرد. او هریک از این اعداد را برحسب دنباله‌ای از اعداد گویا تعریف کرد که به یک مقدار گنگ خاص نزدیک می‌شدند.

اگرچه اعداد گنگ کانتور در ابتدا متفاوت از اعداد گنگ ددکیند به‌نظر می‌رسید، کار بعدی ثابت کرد آن‌ها از نظر ریاضی معادل هستند.

مطالعات کانتور باعث شد به این سوال برسد که چند عدد وجود دارد. این سوال ممکن است در ابتدا عجیب به نظر برسد.

تعداد بی نهایتی از اعداد حسابی وجود دارد و همیشه می‌توانید به توالی این اعداد، عدد دیگری اضافه کنید. اما کانتور نشان داد گرچه تعداد کسرها با تعداد اعداد صحیح برابر است، می‌توان ثابت کرد اعداد گنگ بیشتری وجود دارد. او اولین فردی بود که متوجه شد «بی‌نهایت» می‌تواند اندازه‌های مختلفی داشته باشد.

محور اعداد شلوغ‌تر و عجیب‌تر از قبل به‌نظر می‌رسید، اما ریاضیدانان پس از تغییر دیدگاه توانستند آن را درک کنند.

برش‌های ددکیند مسلما آغاز ریاضیات مدرن است. یان استوارت، ریاضیدان دانشگاه واریک می‌گوید: «این اولین نقطه در تاریخ ریاضیات است که در آن ریاضیدانان واقعا می‌دانند درمورد چه چیزی صحبت می‌کنند.»

ددکیند و دیگران از تعریف خود او برای اثبات قضایای اصلی حسابان برای اولین بار استفاده کردند که به آن‌ها امکان داد نه‌تنها ساختاری را که لایبنیتس و نیوتن ایجاد کرده بودند، تقویت، بلکه آن را غنی‌تر کنند. کار ددکیند، به ریاضیدانان کمک کرد دنباله‌ها و توابع را بهتر درک کنند. تعریف رسمی رادیکال ۲ افق‌های جدیدی را برای کاوشی فراتر از موضوعاتی در حسابان باز کرد که در آغاز ددکیند روی آن‌ها کار می‌کرد. همان‌طور که استوارت می‌گوید: «بعد از ددکیند، ریاضیدانان متوجه شدند می‌توانند مفاهیم کاملا جدیدی را ابداع کنند.»