با سه پارادوکس عجیب علم ریاضی آشنا شوید

گاهی اوقات حس درونی‌تان شما را گمراه می‌کند؛ به‌ویژه در ریاضیات ممکن است مرتب با نتایجی روبه‌رو شوید که به نظر غیرممکن می‌رسند. برای مثال، بی‌نهایت همیشه با بی‌نهایت برابری نمی‌کند و حداقل از یک دیدگاه ریاضی مشخص، لاک‌پشت‌ها ممکن است از ورزشکاران انسانی سبقت بگیرند.

سناریوهای زیادی وجود دارد که در نگاه اول یا نگاه دوم و سوم متناقض به نظر می‌رسند. این تناقض‌ها را می‌توان توجیه کرد، زیرا نه خطا، بلکه یادآوری این نکته هستند که نباید در ریاضیات بیش‌ازاندازه بر شهود خود تکیه کنیم. در ادامه سه نمونه از عجیب‌ترین تناقض‌های ریاضی را معرفی می‌کنیم.

فرض کنید به شهری سفر کرده‌اید و فراموش کردید از قبل اتاقی را در هتل رزرو کنید. خوشبختانه با هتلی زیبا روبه‌رو می‌شوید که به افتخار دیوید هیلبرت، ریاضیدان مشهور، بدین نام خوانده می‌شود. به قسمت پذیرش می‌روید و مشاهده می‌کنید این هتل دارای تعداد بی‌نهایت اتاق است: در واقع تعداد اتاق‌ها متناظر با اعداد طبیعی ۱، ۲، ۳، ۴ و الی آخر هستند بدون اینکه پایانی مشخص داشته باشند.

بااین‌حال مسئول پذیرش به شما می‌گوید که اتاق‌های هتل به‌طور کامل رزرو شده‌اند، اما شما به‌راحتی قانع نمی‌شوید. می‌دانید که با رعایت یک ترفند، شما و بی‌شمار مهمان دیگر می‌توانید در هتل اتاق بگیرید. به مسئول پذیرش پیشنهاد می‌دهید که هر مهمان به اتاقی با یک شماره بالاتر از محل اقامت فعلی خود برود. به‌این‌ترتیب، شخصی در اتاق یک به اتاق ۲ و شخص از اتاق ۲ به اتاق ۳ می‌رود و این روند تا آخر ادامه پیدا می‌کند.

ازآنجاکه هتل هیلبرت دارای تعداد نامحدودی اتاق خالی است، حتی هنگامی که به‌طور کامل رزرو باشد، هنوز اتاق برای میهمان‌های بیشتر وجود دارد. البته این تنها برای یک نفر صدق نمی‌کند، بلکه می‌توان تعداد زیادی از افراد را در این هتل جای داد. در این صورت مهمان‌های هتل نه‌تنها یک اتاق، بلکه باید چند اتاق جابه‌جا شوند.

مسئله‌ی فوق می‌تواند عجیب‌تر شود. حتی اگر تعداد نامتناهی مهمان را به هتل هیلبرت ببرید، باز هم می‌توانید آن‌ها را در هتلی که کاملا رزرو شده است، جای دهید. برای این کار، مهمان اتاق شماره‌ی ۱ باید به اتاق ۲، مهمان اتاق ۲ به اتاق ۴، مهمان اتاق ۳ به اتاق ۶ بروند و این ترتیب همین‌طور ادامه پیدا می‌کند. وقتی تمام افراد در اتاقی که شماره‌اش دو برابر شماره اتاق فعلی‌شان است، مستقر شدند، تعداد نامتناهی اتاق با شماره‌ فرد همچنان خالی خواهد ماند.

دیوید هیلبرت، ریاضیدان آلمانی، تناقض هتل هیلبرت را در طول یک سخنرانی درباره‌ی بی‌نهایت در سال ۱۹۲۵ ارائه کرد. این مثال نشان می‌دهد که تمام مفاهیم را نمی‌توان از نمونه‌های متناهی به نمونه‌های نامتناهی منتقل کرد: عبارت‌های «تمام اتاق‌ها اشغال‌ شده‌اند» و «هتل نمی‌تواند مهمان‌های جدیدی را بپذیرد» در جهان واقعی مترادف هستند؛ اما در دنیایی با بی‌نهایت‌ها این‌گونه نیستند.

تناقض بعدی برای بسیاری از افراد آشنا است. در سال‌های قدیم، داشتن روز تولد یکسان برای همکلاسی‌های یک مدرسه چندان عجیب نبود. درواقع ممکن بود بسیاری از افراد، روز تولد یکسانی با همکلاسی خود داشته باشند. در نگاه اول شاید به نظر یک تصادف برسد. بااین‌حال یک سال دارای ۳۶۵ روز است (یا ۳۶۶ روز در سال‌های کبیسه که در اینجا نادیده می‌گیریم) و یک کلاس مدرسه می‌تواند دارای ۲۰ تا ۳۰ دانش‌آموز باشد. حس درونی به ما می‌گوید بعید است دو کودک در یک روز به دنیا بیایند؛ اما این ذهنیت حقیقت ندارد.

در واقع این احتمال که دو فرد در گروهی ۲۳ نفره روز تولد یکسانی داشته باشند، بیش از ۵۰ درصد است. برای درک بهتر این مسئله، بهتر است نه فقط به تعداد افراد، بلکه به تعداد زوج افراد نگاه کنید. از میان ۲۳ نفر، 253=2/(23x22) زوج به دست می‌آیند. این تعداد بیشتر از نیمی از کل روزهای سال است. حالا اگر صرفا این احتمال را درنظر بگیریم که تنها یکی از دانش‌آموزان در کلاس ۲۳ تایی در تاریخ مشخصی به دنیا آمده است، احتمال برابر است با تنها 6.1= 23^ (365/(365-1))-1درصد.

بنابراین تناقض روز تولد از این حقیقت سرچشمه می‌گیرد که بررسی زوج دانش‌آموزان می‌تواند تعداد احتمال‌های بهتری را نسبت به بررسی دانش‌آموز‌ها به‌صورت فردی بدهد.

خط آبی نشان‌دهنده‌ی این احتمال است که دو فرد از یک گروه (اندازه‌ی گروه روی محور x مشخص است) دارای روز تولد یکسان هستند. خط نارنجی متناظر با این احتمال است که یک شخص دارای روز تولد در تاریخی مشخص است.

مسئله روز تولد آثار محسوسی بر رمزنگاری دارد. برای مثال برای امضای قرارداد دیجیتالی از توابع هش (hash) استفاده می‌شود. در این فرآیند، سند هنگام امضا به یک رشته‌ی کاراکتر (یک هش) با طولی ثابت تبدیل می‌شود. حتی اگر کوچک‌ترین تغییرها در سند اعمال شوند، هش کاملا متفاوتی برای آن تولید می‌شود. با حفظ هش، صاحب امضا می‌تواند ثابت کند که چه چیزی را در اصل امضا کرده است و از این فرآیند در برابر جعل محافظت کند. بااین‌حال، احتمال بسیار کمی وجود دارد که دو سند کاملا متفاوت بتوانند هش یکسان به‌وجود بیاورند و یک خطر امنیتی را به دنبال داشته باشند.

در عمل، حمله‌ی روز تولد به این صورت است: در ابتدا دو قرارداد به‌نام‌های V1 و V2 ایجاد می‌کنید. V2 قراردادی عادلانه اما دارای عباراتی به نفع شخص سازنده است. سپس هر دو قرارداد را در موقعیت‌های مختلف تغییر می‌دهیم. برای مثال فاصله، برگه‌ها و خطوط شکسته برای ایجاد انواع مختلفی از V1 و V2 اضافه می‌شود. این تغییرات اساسا برای خواننده نامرئی هستند، اما به شکل چشمگیری می‌توانند تابع هش اسناد را تغییر دهند.

اکنون اگر سازنده هر کدام از توابع هش از قراردادهای دستکاری‌شده‌ی V1 و V2 را به صورت جفت مقایسه کند، هش منطبق را با سرعت بیشتری نسبت به تلاش برای بازتولید یک هش مشخص پیدا می‌کند. حالا اگر یک جفت منطبق از V’1 و V’2 پیدا شود می‌توان قرارداد V’1 را برای امضا به کاربر ارسال اما پس از امضای V’2 آن را دریافت کرد. از آنجا که هر دو هش یکسانی را تولید می‌کنند، نرم‌افزار امضای دیجیتال نمی‌تواند عملیات فریب را شناسایی کند.

برتراند راسل، فیلسوف بریتانیایی در سال ۱۹۰۱ پارادوکسی را ارائه داد که گاهی از آن با عنوان تناقض راسل یاد می‌شود. برخلاف تناقض‌های هتل هیلبرت و روز تولد، تناقض راسل نتیجه‌ای نیست که شهود ما را گمراه کند. بلکه با قوانین خود منطق در تضاد است. این تضاد باعث تولید گزاره‌هایی می‌شود که نه می‌توانند درست نه می‌توانند غلط باشند.

نمونه‌های متعددی از پارادوکس راسل وجود دارند اما یکی از نمونه‌های مشهور، «تناقض آرایشگر» است. فرض کنید یک آرایشگر صورت تمامی مردان یک شهر را که صورتشان را اصلاح نکرده‌اند (و فقط صورت آن‌ها) را اصلاح کند. آیا آرایشگر صورت خود را اصلاح می‌کند؟ اگر صورت خود را اصلاح کند، آن وقت دیگر متعلق به گروهی که صورت خود را اصلاح نکرده‌اند، نیست؛ اما اگر صورت خود را اصلاح نکند، بر اساس تعریف باید صورت خود را اصلاح کند، زیرا تمام ساکنینی که صورت خود را اصلاح نکرده‌اند، نزد او می‌روند.

مسئله‌ی آرایشگر به خاطر مجموعه‌هایی که به درستی تعریف نشده‌اند، رخ می‌دهد. در زمانی که راسل این تناقض را مطرح کرد، یک مجموعه به گروهی از چیزها مثل اعداد طبیعی گفته می‌شد. به‌این‌ترتیب مجموعه‌ها می‌توانستند شامل خود باشند یا به خود به‌عنوان یک کل اشاره داشته باشند و این ویژگی‌ها باعث تناقض می‌شد. درنهایت چنین تناقضی به پایان آنچه ریاضیدان‌ها «نظریه طبیعی مجموعه‌ها» می‌نامیدند، منجر شد.

اساس ریاضیات همچنان بر نظریه‌ی مجموعه‌ها تکیه دارد؛ با این تفاوت که مجموعه‌های درون این ساختار، مجموعه محض نیستند و درعوض باید شرایط خاصی را برآورده کنند. برای مثال مجموعه‌ها باید از مجموعه‌های موجود شکل گرفته باشند و به خود ارجاع نداده باشند. این قوانین تناقض‌هایی مثل تناقض آرایشگر را از بین می‌برند.

از دیدگاه ریاضی، افراد داخل یک شهر که می‌توانند ریش داشته باشند و مرد هستند، مجموعه‌ی M را شکل می‌دهند. این مجموعه شامل مردهایی است که صورت خود را اصلاح می‌کنند و مردهایی که این کار را نمی‌کنند. سپس مجموعه‌ی C شامل تمام مشتریان آرایشگر است. برای ساخت C باید تابع قوانین نظریه مدرن مجموعه‌ها باشید: اگر آرایشگر مردی با ریش یا بخشی از M باشد، آن‌گاه مجموعه مشتریان را نمی‌توان به‌صورت «تمام شهروندان مردی که صورت خود را اصلاح نمی‌کنند» درنظر گرفت، زیرا در این نمونه تعریف به خود آرایشگر و مشتریان به‌عنوان بخشی از M اشاره دارد. نظریه مجموعه‌ها به سادگی امکان چنین تعریفی را نمی‌دهد؛ اما اگر آرایشگر بخشی از M نباشد، برای مثال اگر زن باشد یا نتواند ریش داشته باشد، این تعریف مجاز است.

حالا می‌توانید یک نفس راحت بکشید: تناقض‌ها حل شدند و ریاضیات محکوم به شکست نیست. هیچ تضمینی وجود ندارد که قوانین ریاضی در مقطعی، تناقض حل‌ناشدنی ایجاد نکنند. منطق‌دانی به نام کورت گودل این مسئله را در دهه‌ی ۱۹۳۰ میلادی ثابت کرد و با انجام این کار به‌وضوح نشان داد که هیچ تضمینی وجود ندارد که ریاضیات تا ابد به روش خودکفا کار کند. تنها کاری که می‌توان انجام داد این است که امیدوار باشیم هرگز با تناقض حل‌نشدنی برخورد نکنیم.