پازل: نجات مزرعه | جایزه هفته: یک دستگاه هارد اکسترنال یک ترابایتی AC630 اپیسر

به «پازل» ۳ خرداد ۱۳۹۸ خوش آمدید! سری «پازل» به‌صورت هفتگی و در روزهای جمعه منتشر می‌شود. دویست‌وشصت‌وسومین قسمت از سری «پازل» شامل دو بخش است: پاسخ معمای ۲۶۲ و البته یک «پازل» جدید! با زومیت همراه باشید.

پاسخ: ۱۲۸۷۰

پاسخ تشریحی:

برای حل این سؤال یک ایده‌ی ساده و بسیار جالب وجود دارد و آن، نگاشت این مسئله به یک مسئله‌ی جایگشت است؛ اما قبل از بیان این ایده اجازه دهید به یک نکته در مورد سؤال اشاره کنیم.

واضح است که مورچه برای رسیدن از نقطه‌ی A به نقطه‌ی C، باید ابتدا به نقطه‌ی B رفته و سپس از نقطه‌ی B به نقطه‌ی C حرکت کند؛ بنابراین می‌توانیم بگوییم در صورتی که از A به B به تعداد y تا و از B به C به تعداد z تا مسیر وجود داشته باشد، آنگاه از A به C به تعداد y*z تا مسیر وجود دارد، بنابراین راه‌حل کلی این است که ابتدا y و z را بدست آوریم و طبق اصل ضرب در هم ضرب کنیم.

یکی از ایده‌های حل این سؤال این است که ابتدا ببینیم که چند حرکت و به چه صورتی لازم است تا از مبدأ به مقصد برسیم‌. برای مثال دو نقطه ی A و B را در نظر بگیرید؛ برای اینکه از A به B برسیم نیاز داریم ۳ حرکت در جهت راست انجام دهیم که هر حرکت به راست را با R نمایش می‌دهیم و همچنین نیاز داریم که ۲ حرکت به سمت بالا انجام دهیم که هر حرکت به سمت بالا را با U نمایش می‌دهیم؛ بنابراین مجموعا به ۵ حرکت نیاز داریم تا به نقطه B برسیم؛ به‌عنوان مثال دنباله ی زیر یکی از این مسیرهاست:

RRRUU

اما نکته‌ی جالب اینجا است که هر جایگشتی از دنباله‌ی یاد شده متناظر با یک مسیر از نقطه ی A به نقطه‌ی B است ؛ بنابراین درصورتی که بتوانیم تعداد این جایگشت‌ها را بشماریم مانند این خواهد بود که تعداد مسیرها را شمرده‌ایم.

ضمنا می‌دانیم که اگر به تعداد n تا از یک حرف داشته باشیم , تمام n! جایگشت این n حرف متناظر با یک حالت خواهد بود. بنابراین با ۳ حرف R و ۲ حرف U به تعداد زیر جایگشت (و متناظر با آن مسیر از A به B) خواهیم داشت:

۱۰=!۵/!۲*!۳

یعنی از A به B ده مسیر خواهد بود.

از طرفی با استفاده از همین روش برای دو نقطه ی B و C به تعداد زیر مسیر خواهیم داشت:

RRRRRRRRUUUUU

۱۲۸۷=!۱۳/!۸*!۵

بنابراین همان‌طور که گفته شد طبق اصل ضرب تعداد مسیرهای از نقطه A به نقطه C برابر خواهد بود با :

۱۲۸۷۰=۱۲۸۷*۱۰

ضمن عرض تشکر از تمام دوستانی که در پازل شرکت کردند و پاسخ‌هایشان را ارسال کردند؛ سؤال هفته‌ی گذشته نسبتا ساده بود و در طرح این سؤال و پاسخ به آن از کتاب ریاضیات گسسته گریمالدی الهام گرفته شده بود.

۵۶۰ نفر از کاربران در «پازل ۲۶۲ زومیت» شرکت کردند که ۲۶۰ نفر موفق به ارایه‌ی پاسخ صحیح شدند. اما برنده‌ی خوش‌شانس این قسمت از پازل:

در اواسط فروردین ماه یک جفت موش تازه متولد شده توسط عده‌ای خرابکار در مزرعه‌ی خوبان رها شدند! این جفت موش که از قابلیت تولید مثل بالایی برخوردار هستند، پس از یک ماهگی، ۳ جفت؛ پس از دو ماهگی، ۲ جفت و پس از سه ماهگی در هر ماه یک جفت موش دیگر به دنیا می آورند.

حال می‌خواهیم قبل از آنکه دیر شود و همه چیز توسط این موش‌ها خورده شود، آن‌ها را در مزرعه از بین ببریم! روش ما استفاده از عقاب‌هایی است که این موش‌ها را شکار کنند. اما برای تربیت این عقاب‌ها به کمی زمان احتیاج داریم. در صورتی که ۱۳ بهله عقاب در اختیار داشته باشیم و هر کدام از این عقاب‌ها بتوانند در هرماه (هر ماه مانند فروردین، اردیبهشت، خرداد و ...) حداکثر ۱۰ جفت موش شکار کنند به سوالات پاسخ دهید.

نکاتی که باید در نظر داشته باشید:

• موش‌ها بین ۱۰اُم تا ۱۵اُم هر ماه بچه‌هایشان را متولد می‌کنند و ما فقط می‌توانیم عقاب‌ها را در ۱۰ روز پایانی هر ماه در مزرعه رها کنیم تا موش‌ها را شکار کنند و بعد از آن عقاب‌ها استراحت می‌کنند تا دوره‌ی ۱۰ روزه‌ی فرابرسد. ضمنا فرایند شکار در این ۱۰ روز توسط عقاب ها لزوما یکنواخت نیست.
• تاریخ حساس، آخرین تاریخی است که اگر با فرضیات مسئله، تربیت عقاب‌ها تا آن تاریخ تمام شده باشد و بتوانیم عقاب‌ها را در آن تاریخ برای اولین‌بار جهت شکار موش‌ها رها کنیم؛ انقراض موش‌ها ممکن است.
• استراتژی خاص، بهترین استراتژی است که می‌تواند توسط عقاب‌های باهوش، در شکار موش‌ها به کار گرفته شود و این استراتژی، کارایی عقاب ها را حداکثر می‌کند.

الف: تاریخ حساس چه روزی است؟ (در پاسخ تاریخ را ذکر کنید؛ مثلا ۱ فروردین)

ب: در صورتی که عقاب ها را در تاریخ حساس با استراتژی خاص جهت شکار رها کنیم، فرایند انقراض تا پایان کدام ماه سال تکمیل می‌شود؟ (یعنی بعد از این ماه حتی یک جفت موش هم وجود نخواهد داشت)

منبع طرح معما‌های سری «پازل» اینترنت نیست؛ اما در دنیای اینترنت، ممکن است پاسخ هر چیزی یافت شود. پس اگر جوابی در اینترنت یافتید، به دوستان خود احترام بگذارید و آن را منتشر نکنید. علاوه‌بر این، از آنجا که بخش نظرات مقاله‌های «پازل»، محل تبادل نظر و راهنمایی محسوب می‌شود، جهت احترام به حقوق خود و سایر کاربران، از ارسال نظرات غیرمرتبط خودداری کنید.

تا ساعت ۱۲ ظهر روز پنجشنبه فرصت دارید به این معما پاسخ دهید. برای بهتر شدن «پـازل» نظرات و پیشنهادهای خود را درباره این بخش، حتماً با ما در میان بگذارید.