پازل: زمان سوختن | جایزه هفته: ۵ دستگاه پاوربانک ۱۰ هزار میلی آمپر ساعتی Baseus

به «پازل» ۱۰ خرداد ۱۳۹۸ خوش آمدید! سری «پازل» به‌صورت هفتگی و در روزهای جمعه منتشر می‌شود. دویست‌وشصت‌وچهارمین قسمت از سری «پازل» شامل دو بخش است: پاسخ معمای ۲۶۳ و البته یک «پازل» جدید! با زومیت همراه باشید.

پاسخ:

الف: ۲۲ مرداد

ب: آذرماه

پاسخ تشریحی:

برای بسیاری از دوستانی که در رشته‌های مهندسی و علوم کامپیوتر، فناوری اطلاعات و ریاضی تحصیل کرده‌اند؛ نمادهای مجانبی و سرعت رشد مفهومی آشنا و عمیق است که در این سؤال سعی شده این مفهوم، در قالب یک مصداق واقعی قابل لمس شود.

اولین سوالی که نیاز داریم به آن پاسخ دهیم این است که الگوی تولید و مثل موش‌ها چگونه است و این الگو چه نقشی در حل سؤال دارد. باتوجه‌به اینکه معماها باید طوری طرح شوند که تمامی افراد با اطلاعاتی نسبتا عمومی قادر به پاسخگویی باشند؛ از بیان راه‌حل‌های تخصصی خودداری می‌کنیم، اما بیان یک ایده در حل این سؤال خالی از لطف نیست؛ ایده‌ی روابط بازگشتی که در بسیاری از حوزه‌ها کاربرد فراوانی دارد، می‌تواند دیدگاه ما را نسبت به این مسئله روشن‌تر کند.

فرض کنید در یکی از ماه‌های سال قرار دارید (مثلا تاریخ ۱۶اُم یک ماه) و چند ماه (حداقل ۳ ماه) از ابتدای سال گذشته است؛ با فرض اینکه تعداد کل موش‌ها در ماه nاُم برابر  a[n] باشد در مورد تعداد جفت موش‌ها و ماهی که داخل آن هستیم چه می‌توان گفت؟! به‌طور کلی دو سری موش در این ماه وجود دارند :

• موش‌هایی که به‌تازگی در این ماه متولد شدند (بین 10 ام تا 15 ام همین ماه) که خود شامل سه دسته‌اند:

• موش‌هایی که والدین آن‌ها ماه قبل متولد شده‌اند.موش‌هایی که والدین آن‌ها دو ماه قبل متولد شده‌اند.موش‌هایی که والدین آن‌ها سه ماه قبل و چهار ماه قبل و قبل تر از آن متولد شده‌اند.

• موش‌هایی که در این ماه متولد نشده اند و ماه قبل هم وجود داشته‌اند.

موش های متولد شده در ماه جاری از این نظر به ۳ دسته تقسیم شدند که والدین آن‌ها بسته به اینکه خود در چند ماه قبل متولد شده‌اند؛ تعداد متفاوتی موش در این ماه به دنیا خواهند آورد که باتوجه‌به فرضیات مسئله این موش‌ها ۳ دسته بودند.

ضمنا به‌طور کلی تعداد موش‌هایی که در ماه Xاُم متولد می‌شوند برابر است با:

 {تعداد کل موش‌های موجود تا ماه قبل از ماه X} – {تعداد کل موش‌های موجود تا ماه X}

بنابراین با فرض اینکه تعداد کل موش‌ها در ماه n‌اُم برابر a[n] باشد می‌توان گفت:

با ساده کردن رابطه‌ی فوق خواهیم داشت‌:

a[n]=4a[n-1] ­– a[n-2] – a[n-3]

ضمنا می‌دانیم که برای تمام ماه‌های قبل از ماه اول به تعداد صفر موش داشته‌ایم. حال به‌سادگی قادر خواهیم بود تعداد کل موش‌ها تا هر ماهی که می‌خواهیم را بدست آوریم. با فرض اینکه هیچ عقابی وجود نداشته باشد و با استفاده از رابطه بالا تا ماه هفتم یعنی مهرماه، تعداد کل جفت موش‌ها (عدد سمت چپ) و تعداد جفت‌های موش‌های متولد شده در هر ماه (عدد سمت راست) به شکل زیر خواهد بود:

a[1]=1                          1

a[2]=4                          3

a[3]=15                        11

a[4]=55                        40

a[5]=201                      146

a[6]=734                      533

a[7]=2680                    1946

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید سرعت رشد جمعیت جفت موش‌ها بسیار زیاد است به شکلی که در ماه هفتم فقط ۱۹۴۶ جفت موش متولد می‌شوند!

حال که در مورد الگوی تولید مثل موش‌ها اطلاعاتی به دست آوردیم نیاز داریم تا در مورد الگوی شکار عقاب‌ها بحث کنیم و بررسی کنیم که در چه شرایطی انقراض موش‌ها ممکن است. (ضمنا همان‌طور که یکی از دوستان، به درستی در دیدگاه ها اشاره کردند ، هر جفت موش یا با هم زنده خواهند بود یا با هم خواهند مرد.)

باتوجه‌به دو قسمت الف و ب که در این معما مطرح بود؛ ما نیاز داریم بدانیم که منظور از "استراتژی خاص" چه چیزی می‌تواند باشد. توجه کنید که در قسمت الف سؤال درواقع پرسیده شده آخرین روزی که می‌توانیم عقاب‌ها را رها کنیم تا انقراض موش‌ها ممکن باشد چه روزی است؟! یعنی ما به قطعیت نمی‌توانیم بگوییم رهاسازی عقاب‌ها برای اولین شکار در تاریخ d (تاریخ حساس) ما را قطعا با انقراض موش‌ها مواجه خواهد کرد، بلکه احتمالا انقراض موش‌ها مستلزم شرایطی خاص خواهد بود که از این شرایط خاص به‌عنوان "استراتژی خاص" یاد می‌شود. با کمی دقت در مسئله متوجه می‌شویم که بهترین الگویی که عقاب‌ها می‌توانند برای شکار انتخاب کنند این است که، عقاب‌ها از جدیدترین موش‌هایی که متولد می‌شوند شروع به شکار کنند، چرا که موش‌های متولد شده در ماه جاری، سه جفت موش در ماه بعد به دنیا خواهند آورد. موش‌های متولد شده در ماه قبل، دو جفت موش در ماه بعد به دنیا خواهند آورد و موش‌های متولد شده تا دو ماه قبل، تنها یک جفت موش در ماه بعد به دنیا خواهند آورد.

می‌دانیم که عقاب‌ها (کل ۱۳ عقاب) می‌توانند در هر ماه مجموعا ۱۳۰ جفت موش شکار کنند. از جایی که این تعداد ثابت است و رشد نمی‌کند (عقاب‌ها در مسئله تولید مثل نمی‌کنند)، ما باید تربیت عقاب‌ها را تا قبل از تاریخ حساس تمام کنیم. برای مثال فرض کنید بتوانیم عقاب‌ها را به ماه ششم جهت شکار برسانیم (یعنی ۱۰ روز آخر ماه ششم عقاب‌ها شکار کنند). در این صورت عقاب‌ها ۱۳۰ جفت موش شکار خواهند کرد، اما حتی اگر عقاب‌ها با استراتژی خاص این ۱۳۰ جفت را شکار کنند و تمام ۱۳۰ جفت موش، از دسته‌ای باشند که در ماه جاری متولد شده‌اند؛ هنوز ۴۰۳ عدد موش وجود دارند که فقط در این ماه متولد شده‌اند! ضمن اینکه ۲۰۱ موش هم تا آخر ماه پنجم متولد شده‌اند که مجموعا برابر ۶۰۴ جفت موش می‌شود (توجه داریم که این عدد برابر  ۱۳۰-۷۳۴ خواهد بود.)

با یک حساب سرانگشتی واضح است که ماه ششم برای اولین رها سازی عقاب‌ها قطعا دیر خواهد بود، چرا که رهاسازی عقاب‌ها در هر ماه تنها در ۱۰ روز پایانی ماه ممکن است، یعنی بعد از تولید مثل ماه ششم موش‌ها! (برای درک بهتر موضوع بررسی کنید که در صورت رهاسازی عقاب‌ها در ماه ششم برای اولین‌بار چه تعداد موش در ماه هفتم و چه تعداد موش در ماه هشتم متولد خواهند شد؟!) از طرفی با توجه اینکه تا ماه چهارم تنها ۵۵ جفت موش در مزرعه وجود دارند، واضح است در صورتی که عقاب‌ها را برای اولین‌بار در ماه چهارم (۱۰ روز پایانی ماه) جهت شکار رها کنیم، می‌توانند همه‌ی موش‌ها را شکار کنند. حتی ۶ عدد عقاب با هر استراتژی برای منقرض کردن موش‌ها در ماه چهارم کافی است! بنابراین باتوجه‌به اینکه ما آخرین تاریخ را می‌خواهیم، دریافتیم که این تاریخ زودتر از ۲۲ تیر ماه نخواهد بود. اما تنها ماهی که هنوز آن را بررسی نکرده‌ایم، ماه پنجم است چرا که تکلیف ماه ششم به بعد و چهارم به قبل را مشخص کردیم. برای درک بهتر جواب هر دو قسمت مسئله توجه به جدول زیر بسیار راهگشا خواهد بود اما قبل از آن، توضیح یک نکته بسیار جذاب است: در این مسئله تاریخ حساس ۲۲ مرداد یعنی اولین روز از ۱۰ روز پایانی مرداد است؛ البته دوستانی که ۲۱ مرداد را برای پاسخشان در نظر گرفتند جواب غلطی نداده‌اند، چرا که پایان روز ۲۱ مرداد مد نظرشان بوده است (البته به غیر از افرادی که مرداد را ۳۰ روزه در نظر گرفتند!). ضمنا باتوجه‌به اینکه در صورت سؤال ذکر شده فرایند شکار موش‌ها لزوما یکنواخت نیست، ما حق انتخاب یک روز میانی در ۱۰ روز آخر مردادماه (مثل ۲۶ مرداد) را نداریم. اما نکته‌ی جالب اینجا است که در صورتی که عقاب‌ها در تاریخ حساس برای اولین سری به شکار موش‌ها بروند در صورتی که از موش‌های پیرتر شروع به شکار کنند، پروژه ی انقراض موش‌ها و به تبع آن نجات مزرعه به‌طور کل با شکست مواجه می‌شود! بنابراین مرداد ماه یک ماه مرزی است از دو جهت:

• اینکه دیرتر از مردادماه قطعا مزرعه از دست می‌رود
• اگر عقابها در مرداد ماه شکار را از موش‌های پیرتر شروع کنند باز هم قطعا مزرعه از دست می‌رود. (توجه کنید بررسی یک استراتژی ترکیبی از عملکردهای خوب و بد در ماه های متفاوت ، بسیار دشوار است و از حوصله ی این متن خارج است بنابراین ما صرفا بهترین عملکرد عقاب‌ها را مورد بحث قرار دادیم.)

در این قسمت توضیحات تکمیلی در مورد جدول ارائه می‌کنیم: در ماه ۵اُم (مرداد) ۱۳۰ جفت موش توسط عقاب‌ها شکار می‌شوند که به این ترتیب تنها ۱۶ جفت موش از آن‌هایی که در مرداد ماه متولد شده‌اند، باقی می‌مانند که این تعداد در ماه ۶اُم، ۴۸ جفت موش به دنیا می‌آورند. همچنین ۴۰ جفت موشی که در ماه ۴اُم متولد شدند، در ماه ۶اُم ۸۰ جفت دیگر متولد می‌کنند و درنهایت تمام ۱۵ جفتی که تا ماه سوم متولد شده بودند، در ماه ۶اُم، ۱۵ جفت موش دیگر متولد می‌کنند. از طرفی از کل ۲۰۱ موشی که تا ماه پنجم (منظور تا ۱۵اُم این ماه) وجود داشتند؛ تنها ۷۱ جفت موش دیگر پس از اولین حمله‌ی عقاب‌ها (آخر ماه ۵اُم) باقی ماندند.

همین تحلیل برای ستون های بعدی جدول نیز صادق است؛ اما که در ماه هفتم، عقاب‌ها ۱۲۶ جفت موش از متولدین همین ماه و ۴ جفت موش دیگر از متولدین ماه ششم شکار می‌کنند (چون متولدین ماه ششم از متولدین ماه پنجم و قبل تر خطرناک‌ترند و هر کدام می‌توانند در ماه هشتم دو جفت بچه به دنیا آورند) .

در ماه هشتم عقاب‌ها می‌توانند ۴۱ جفت موش، مازاد بر موش‌های متولد ماه هشتم شکار کنند، اما از جایی که جفت موش متولد ماه هفتمی باقی نمانده و جفت موش‌های موجود تا ماه ششم تفاوتی از نظر میزان خطر برای ماه نهم ندارند؛ فرق نمی‌کند که عقاب‌ها کدام یک از متولدین ماه اول تا ششم را شکار کنند، اما برای حفظ نظم حل مسئله همان استراتژی را ادامه دادیم؛ بنابراین ابتدا ۹ جفت باقی مانده از ۱۳ جفت ماه ششم شکار شدند و ۳۲ جفت دیگر ، از ۷۱ جفت موجود تا ماه پنجم.

و درنهایت ...

عقابها با یکدیگر خواندند:

توی پاییز مجاور ، وسطای ماه آذر

شد قرارمون که باهم ، بزنیم به موش آخر !

برای علاقه مندان:

دوستانی که به حل این سؤال علاقه‌مند بودند، می‌توانند سوالات زیر را (خصوصا آخرین قسمت) بیشتر و عمیق تر مورد بحث قرار دهند.

الف: در صورتی که هیچ عقابی وجود نداشته باشد و موش‌ها به روند طبیعی تولید مثل خود ادامه دهند، چند جفت موش در مهرماه متولد خواهد شد؟

ب: "تاریخ حساس" چه روزی است؟ (در پاسخ تاریخ را ذکر کنید ؛ مثلا یک فروردین)

پ: "استراتژی خاص" چگونه است؟ (لطفا پاسخ بیشتر از ۲ خط نشود)

ت: در صورتی که عقاب‌ها را در "تاریخ حساس" با "استراتژی خاص" جهت شکار رها کنیم ؛ آیا ممکن است بعد از آن در یک بازه ی زمانی ؛ جمعیت موش‌ها نسبت به "روز قبل از تاریخ حساس" بیشتر باشد یا اینکه جمعیت آن‌ها همواره کاهش می یابد تا منقرض شوند؟

ث: در صورتی که پاسخ قسمت (ت) مثبت است و این امکان وجود دارد ؛ این موضوع چگونه قابل توجیه است که در یک بازه ی زمانی بعد از "تاریخ حساس" جمعیت موش‌ها افزایش می یابد ؛ اما ما همچنان اطمینان داریم که این موش‌ها منقرض خواهند شد.

ج: در صورتی که عقاب‌ها را در "تاریخ حساس" با یک استراتژی غیر از "استراتژی خاص" جهت شکار رها کنیم؛ آیا ممکن است فرایند انقراض موش‌های مزرعه با شکست مواجه شود؟

چ: در صورتی که عقاب‌ها را در "تاریخ حساس" با "استراتژی خاص" جهت شکار رها کنیم؛ در ابتدای کدام ماه سال حتی یک عدد موش هم وجود نخواهد داشت؟ (اولین ماهی که این خاصت را دارد بگویید)

ح: در صورتی که عقاب‌ها را در "تاریخ حساس" با "استراتژی خاص" جهت شکار رها کنیم؛ اما در تاریخ ۱۹ شهریور یکی از عقاب‌ها توسط یک خائن، به‌دلیل منافع شخصی دزدیده شود؛ فرایند انقراض موش‌ها در مزرعه چه عاقبتی خواهد داشت؟!

۱۹۲ نفر از کاربران در «پازل ۲۶۳ زومیت» شرکت کردند که ۲۷ نفر موفق به ارایه‌ی پاسخ صحیح شدند. اما برنده‌ی خوش‌شانس این قسمت از پازل:

دو عدد نخ به‌نام‌های A و B داریم، نخ A در ۳۰ ثانیه و نخ B در ۴۰ ثانیه می‌سوزد. این نخ‌ها لزوما یکنواخت نمی‌سوزند. آیا ممکن است زمان ۲۷٫۵ ثانیه را با این نخ ها اندازه بگیریم؟ اگر بله چطور؟

منبع طرح معما‌های سری «پازل» اینترنت نیست؛ اما در دنیای اینترنت، ممکن است پاسخ هر چیزی یافت شود. پس اگر جوابی در اینترنت یافتید، به دوستان خود احترام بگذارید و آن را منتشر نکنید. علاوه‌بر این، ازآنجاکه بخش نظرات مقاله‌های «پازل»، محل تبادل نظر و راهنمایی محسوب می‌شود، جهت احترام به حقوق خود و سایر کاربران، از ارسال نظرات غیرمرتبط خودداری کنید.

تا ساعت ۱۲ ظهر روز پنجشنبه فرصت دارید به این معما پاسخ دهید. برای بهتر شدن «پـازل» نظرات و پیشنهادهای خود را درباره این بخش، حتماً با ما در میان بگذارید.